こんにちは！
大学受験予備校・個別指導塾の『武田塾 一之江校』です！
今回は、因数分解の基本について書いていきます。
苦手な人は、勉強の参考にしてくださいね(#^^#)
因数分解の基本
まずは、因数分解の基本から始めていきます。
【因数分解の基本①】共通因数で括る
そもそも因数分解って何？という人もいると思います。
今までに展開って習いましたよね？
それの逆の作業をするのが因数分解です。
例えば
\[a(b+c)=ab+bc\]のような分配法則の式がありましたよね？これを
\[ab+bc=a(b+c)\]のように逆の計算をすることを因数分解と言います。
実際に計算をしてみましょう。
【例題】\(3xy-6x^2z\) を因数分解しなさい。
まずは、\(3xy\)と\(6x^2z\)を共通して割り切れるものを探します。
両方とも\(x\)で割り切れますよね？それ以外に3でも割り切れます。
あとはそれを前に持ってきて(カッコで括ると言います)、割ったのこりをカッコの中に残しておきます。
なので因数分解をすると
\[3xy-6x^2z=3x(y-2xz)\]となります。
【因数分解の基本②】公式を使った因数分解
展開の分野で情報公式を習いましたよね。それがそのまま因数分解の公式になります。
\begin{align} a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\\a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\\a^2-b^2=(a+b)(a-b) \end{align}それぞれ、実際に計算をしてみましょう。
【例題】①\(x^2+6x+9\) ②\(4x^2-20xy+25y^2\) ③\(9a^2-16b^2\)
それぞれ(1)~(3)の公式を使います。
①ではそれぞれ最初と最後の項に注目して、何の2乗になっているかを考えます。
\(x^2\)は\(x\)の2乗、9は3の2乗になっているのがわかります。
最後に真ん中の項が公式の形に当てはまっているかを考えます。
\(6x=2\times x\times3\)なので当てはまっていますね。
なので因数分解をすると、
\[x^2+6x+9=(x+3)^2\]になります。②も同じように考えると、
\[4x^2-20xy+25y^2=(2x-5y)^2\]となります。
③は項が2つしかありませんので、それぞれが何の2乗になっているのかを考えましょう。
\(9a^2\)は3aの2乗、\(16b^2\)は4bの2乗になっていますので、
\[9a^2-16b^2=(3a+4b)(3a-4b)\]と因数分解ができます。
【因数分解の基本③\((x+a)(x+b)\)の因数分解】
\(x^2+11x+30\)のような式は、因数分解の基本①も因数分解の基本②も使えませんよね。
こういう場合は、因数分解が展開の逆になっていることを利用していきます。
\((x+a)(x+b))を展開すると
\[(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\]になりましたよね。つまり、因数分解をするときには真ん中の項と最後の項に注目をして、それを和と積に持つような2つの数を考えれば良いのです。
実際に、さっきの式で考えてみましょう。
\(x^2+11x+30\)の真ん中の項の係数は11、最後の項は30なので、かけたら30、足したら11になる2つの数を考えます。
5と6ですよね。なので因数分解をすると
\[x^2+11x+30=(x+5)(x+6)\]になります。
因数分解の応用
ここからは、基本①~③だけでは解けない問題について考えてみましょう。
例えば、\(3mx^2-9mx+6m\)は、因数分解の基本①~③には当てはまっていませんよね。
こういう場合は、基本①→基本②→基本③の順に考えていけば良いです。
まずは基本①から考えていきましょう。
\(3mx^2-9mx+6m\)の場合は、全部の項が3と\(m\)で割り切れますよね。なので、3\(m\)で括ると、
\[3mx^2-9mx+6m=3m(x^2-3x+2)\]になります。
次に、基本②の因数分解の公式を使えるかを考えます。
残念ながら今回は使えません。2がどの整数の2乗にもなっていませんね。
では、最後に基本③を考えましょう。
真ん中の項の係数は-3、最後の項は2なので、かけたら2、足したら-3になる2つの数を考えます。
-2と-1ですね。なので因数分解をした答えは、
\[3mx^2-9mx+6m=3m(x-2)(x-1)\]になります。
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最後に
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